Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 10 & 30 10 & 30 & 100 30 & 100 & 354 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & 30 \\ 10 & 30 & 100 \\ 30 & 100 & 354 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 30 & 100 100 & 354 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 30 & 100 \\ 100 & 354 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 30 \cdot 354 - 100 \cdot 100

$a_{11} = 30 \cdot 354 - 100 \cdot 100$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

30

$30$ par

354

$354$ .

a_{11} = 10620 - 100 \cdot 100

$a_{11} = 10620 - 100 \cdot 100$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 100

$- 100$ par

100

$100$ .

a_{11} = 10620 - 10000

$a_{11} = 10620 - 10000$

a_{11} = 10620 - 10000

$a_{11} = 10620 - 10000$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

10000

$10000$ de

10620

$10620$ .

a_{11} = 620

$a_{11} = 620$

a_{11} = 620

$a_{11} = 620$

a_{11} = 620

$a_{11} = 620$

a_{11} = 620

$a_{11} = 620$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 10 & 100 30 & 354 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 10 & 100 \\ 30 & 354 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 10 \cdot 354 - 30 \cdot 100

$a_{12} = 10 \cdot 354 - 30 \cdot 100$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

10

$10$ par

354

$354$ .

a_{12} = 3540 - 30 \cdot 100

$a_{12} = 3540 - 30 \cdot 100$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 30

$- 30$ par

100

$100$ .

a_{12} = 3540 - 3000

$a_{12} = 3540 - 3000$

a_{12} = 3540 - 3000

$a_{12} = 3540 - 3000$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

3000

$3000$ de

3540

$3540$ .

a_{12} = 540

$a_{12} = 540$

a_{12} = 540

$a_{12} = 540$

a_{12} = 540

$a_{12} = 540$

a_{12} = 540

$a_{12} = 540$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 10 & 30 30 & 100 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 10 & 30 \\ 30 & 100 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 10 \cdot 100 - 30 \cdot 30$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

$10$ par

$100$ .

$a_{13} = 1000 - 30 \cdot 30$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

$- 30$ par

$30$ .

$a_{13} = 1000 - 900$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

$900$ de

$1000$ .

$a_{13} = 100$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 30 \\ 100 & 354 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 10 \cdot 354 - 100 \cdot 30$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

$10$ par

$354$ .

$a_{21} = 3540 - 100 \cdot 30$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

$- 100$ par

$30$ .

$a_{21} = 3540 - 3000$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

$3000$ de

$3540$ .

$a_{21} = 540$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 30 \\ 30 & 354 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 4 \cdot 354 - 30 \cdot 30$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$354$ .

$a_{22} = 1416 - 30 \cdot 30$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

$- 30$ par

$30$ .

$a_{22} = 1416 - 900$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

$900$ de

$1416$ .

$a_{22} = 516$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 10 \\ 30 & 100 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 4 \cdot 100 - 30 \cdot 10$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$100$ .

$a_{23} = 400 - 30 \cdot 10$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

$- 30$ par

$10$ .

$a_{23} = 400 - 300$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

$300$ de

$400$ .

$a_{23} = 100$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 30 \\ 30 & 100 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 10 \cdot 100 - 30 \cdot 30$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

$10$ par

$100$ .

$a_{31} = 1000 - 30 \cdot 30$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

$- 30$ par

$30$ .

$a_{31} = 1000 - 900$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

$900$ de

$1000$ .

$a_{31} = 100$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 30 \\ 10 & 100 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 4 \cdot 100 - 10 \cdot 30$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$100$ .

$a_{32} = 400 - 10 \cdot 30$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

$- 10$ par

$30$ .

$a_{32} = 400 - 300$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

$300$ de

$400$ .

$a_{32} = 100$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 10 \\ 10 & 30 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 4 \cdot 30 - 10 \cdot 10$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$30$ .

$a_{33} = 120 - 10 \cdot 10$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

$- 10$ par

$10$ .

$a_{33} = 120 - 100$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

$100$ de

$120$ .

$a_{33} = 20$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 620 & - 540 & 100 \\ - 540 & 516 & - 100 \\ 100 & - 100 & 20 \end{array}]$